Ett matematisk ramverk, olika tillämpningar

 
Anna använder strukturella nätverk för att studera arters och geners evolutionära historia, medan Patricia studerar hur vi kan ta fram effektiva ankomst- och avgångstider för tunnelbanor.

Anna har arbetat med sitt problem sedan 2024, medan Patricia just har avslutat sin masteruppsats om tågschemaläggning. Deras två områden må vara olika, men de har något gemensamt: Att rita linjer mellan punkter som representerar objekt för att etablera korrelationer, vilket avslöjar ett strukturellt nätverk med massor av intressanta och användbara data. Anna förklarar:

- Låt oss säga att prickarna på det här papperet representerar Anna, Erik, Patricia och Marc. Vi drar en linje mellan dem som känner varandra, låt oss säga Anna, Patricia och Erik för diskussionens skull, och sedan Anna, Patricia och Marc, men inte Erik och Marc. Vi har nu visualiserat sambanden mellan prickarna, säger hon och understryker att detta är en starkt förenklat exempel. Anna tillägger att en sådan konstruktion av punkter och linjer kallas en kombinatorisk graf eller helt enkelt graf. - Detta är helt annorlunda än graferna vi ser i skolan, där man har en x- och en y-axel. I matematik kallar vi punkterna för hörn och linjerna för kanter, säger hon.

- Matematiken inom båda våra områden är likartad, men tillämpningarna är olika, säger Patricia och fortsätter:

- I mitt arbete representerar punkterna ankomster och avgångar av tåg på stationer i ett tunnelbanesystem. Tåget anländer först till en station A och stannar sedan kvar på stationen ett tag, tills det avgår till en annan station B, där det anländer igen. Vi kopplar sedan samman ankomstpunkten för station A med avgångspunkten för station A och avgångspunkten för station A med ankomstpunkten för station B. Linjerna vi ritar skapar tågrutter. Vi ställer sedan frågan: Vid vilken tidpunkt ska varje tåg anlända och avgå från sina stationer? Grafen gör det möjligt att skapa tågscheman som är effektiva, vilket garanterar korta övergångstider för passagerare samtidigt som man använder så få fordon som möjligt. Så mitt arbete ligger i skärningspunkten mellan grafteori, diskret matematik och optimering, säger Patricia.

Anna förklarar vidare att det handlar om grafer även i hennes forskning. Darwins berömda "livets träd" är, när man tänker på det, en typ av graf. Punkterna representerar arter, till exempel nu levande arter som en ko, en katt och en hund. Andra prickar representerar tidigare släktarter som de nuvarande artnerna har utvecklats från. Linjerna representerar de evolutionära släktskapen mellan dem, nämligen vem som är en ättling till vem.

- Om vi ​​kunde titta tillbaka i tiden skulle vi kunna observera kons och kattens faktiska förfäder. Men detta är naturligtvis omöjligt i praktiken! Istället behöver biologer lista ut och testa rimliga evolutionära scenarier utifrån vad som finns tillgängligt här och nu, säger Anna. Hon förklarar att en möjlighet är att titta på benstrukturer. En ko och en häst kan se något lika ut, men deras benstruktur är helt olika, vilket innebär att deras evolution och ursprung också är olika. Genetiskt material är dock förmodligen det vanligaste materialet nuförtiden.

- Klassiskt sett, fortsätter Anna, antas det att när två arter divergerar, kommer de aldrig att återförenas. Under de senaste trettio åren eller så har folk insett att detta kan vara lite för optimistiskt. Problemet är att när detta antagandet överges måste man ta hänsyn till väldigt trassliga och komplicerade grafer. Kort sagt, graferna blir röriga!
- Jag har pratat om biologi hittills, men det här arbetet är långt ifrån praksis. Biologer härleder fortfarande både träd och mer komplicerade nätverk. Min metod är lite annorlunda, ge mig ett nätverk så ska jag försöka berätta något om det.

- Om vi ​​till exempel har ett väldigt komplicerat evolutionärt scenario, hur kan vi effektivt hitta en förenklad version som fortfarande bevarar de centrala trenderna? För att besvara sådana frågor behöver vi bra idéer från både matematiker, datavetare och biologer, avslutar Anna.